Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat satu variable adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat tertingginya dua.
Berikut beberapa contoh bentuk persamaan kuadrat yaitu:

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variable disebut juga peubah. Variable biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …, z dengan a, b, c, …, z bukan suatu konstanta (bilangan)

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variable.

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Suku adalah variabel beserta koefiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Sebuah suku dapat dijumlahkan apabila sejenis, memiliki variable yang sama dan pangkat yang sama (suku sejenis).

Secara umum bentuk persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan real, dan a ≠0. a disebut koefisien x², b koefisien x, c konstanta. Akar persamaan kuadrat dari  ax² + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara:

1. Menfaktorkan
2. Melengkapi kuadrat sempurna (melengkapi bentuk kuadrat)
3. Rumus Kuadratik

Memfaktorkan

Memfaktorkan bentuk ax² + bx + c = 0, a = 1

Persamaan kuadrat x² + bx + c = 0, dan p, q bilangan bulat, hasil pemfaktorannya adalah ( x + p )( x + q ).
Jika bentuk ( x + p )( x + q ) dikalikan, maka diperoleh

Dengan demikian persamaan kuadrat x² + bx + c = 0 ekuivalen dengan persamaan kuadrat x² + (p+q) x + pq = 0
Jadi, p + q = b dan p . q = c

Memfaktorkan bentuk ax² + bx + c = 0, a ≠ 1
Bentuk ax² + bx + c = 0 diuraikan ke bentuk

Dengan syarat p . q = a . c  dan  p + q = b

Melengkapi kuadrat sempurna

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran sangat terbatas, karena seringkali kita akan mengalami kesukaran untuk memfaktorkan persamaan kuadrat. Cara kedua untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dikenal sebagai melengkapi kuadrat sempurna  atau melengkapkan bentuk kuadrat.

Bentuk –bentuk kuadrat yang harus dipahami adalah

Sebelumnya kita perlu memahami sifat kuadrat berikut ini.

Sifat akar kuadrat

Jika m dan n bilangan real dan m ² = n ² maka m = n  dan m = -n

Penyelesaian dengan melengkapkan bentuk kuadrat 

• Ubah bentuk ke bentuk
• Apabila a ≠ 1, bagilah kedua ruas persamaan dengan a, sehingga diperoleh:

 

• Lengkapkan bentuk kuadrat dengan menambahkan kedua ruas dengan  
• Tuliskan ruas kiri dari persamaan sebagai bentuk kuadrat:

. . .  (*)

• Pergunakan sifat akar kuadrat untuk menyelesaikan bentuk (*)

Rumus kuadratik

Rumus kuadratik merupakan cara ketiga dalam menyelesaikan persamaan kuadrat yang sering disebut rumus ABC.  Formula kuadrat diperoleh dari pemrosesan kuadrat sempurna (bentuk kuadrat) pada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Berikut ini penurunan rumus ABC tersebut.

Dari uraian tersebut didapat

Rumus ABC

Jika dengan a ≠ 1 maka

Solusi atau penyelesaian persamaan kuadrat  ,  yaitu